总结中。。。

物理学中的群论——问题项

此文内容主要基于马中骐老师的《物理学中的群论》一书的学习笔记，并穿插近世代数的内容，目标是通过练习总结群论在物理学理论应用中最为核心的概念。

很多物理学家包括杨振宁都笃信我们这个世界为对称性所支配，对称性的数学描述是由伽罗瓦在研究高次代数方程可解性问题的过程中通过建立群论实现的。有关对称性研究的直觉促使物理学家们开始系统学习有关群论的知识，去建立和对称性相关的物理模型。早期，物理学家Weyl和Wigner在有关群论的数学物理研究中对于解释量子力学的一些重要现象取得了长足的进步，后期规范场论的逐步建立确立了对称性研究在理论物理中的重要地位。仅仅在凝聚态物理中，不管是L. Landau所建立的自发对称性破却范式，还是相位因子关于拓扑学在超越Landau范式的拓扑材料理论中的应用，都不可避免地要对相应物理体系做相关对称性分析，更为深刻地揭示了对称性在低能多体领域所展现的本质。这就使得群论学习在提升物理学家理论素养上所体现的必要性。以上描述也是本次学习记录的主要动机。

群论所探究的内容总和变换相关，具体在物理上处理的对象就是变换算符，所以群的概念的总和对称性联系，因为我们一般所讨论的关于物理上所谓的对称就是用于描述测量的态不依赖时空变换操作（对应观测和）

群的基本概念：

群的定义：设群$G$，一般意义的群作为一个集合首先不为空集，即$G\neq\emptyset$，并存在幺元(恒元)$\rm I$，对于群中任意元素$R$，有$\mathrm{I}R=R$，且对于该元素有逆元$R^{-1}$，使得$RR^{-1}=R^{-1}R=\mathrm{I}$。可见恒等变换构成一个只有一个元素的群，它是最简单的群。

实际上，对于集合$G$满足一下四个条件即可成群：

（1）封闭性条件：$RS\in G$，$\forall R,S\in G$。

（2）元素“乘积”法则满足结合律：$R(ST)=(RS)T$，$\forall R,S,T\in G$。

（3）存在幺元$\rm I$，满足左乘:$E\in G$，$ER=R, \forall R \in G$。

（4）任意元素$R$存在逆$R^{-1}$于集合中，满足：$RR^{-1}=R^{-1}R=\mathrm{I}$

条件中可以看出，定义群的对象是一个非空集合，并存在对应的二元运算（群乘法）。群$G$的元素数目为群的阶，一般记为$g$，一般群的乘法不满足交换律，满足交换律的群即Abel群。

群元的阶，群的指数，陪集，子群，不变子群，共轭类，同态和同构（群元一一对应和一多对应，），群代数

群的种类，空间群，循环群，置换群，商群