此文内容基于温伯格《the Quantum Theory of Field》一书。在得知温伯格先生逝世的消息之后，有感于没有读过其著作的遗憾，希望能从当下已至未来一年间将该学习践行到底。 温伯格本人在理论物理上的造诣已是大师之境，他的建议感召后世，为人敬仰。

第一章 场论的历史

今天，当我们涉足物理理论世界，四顾坚实的物理建构，这恢弘背后是若干年前物理学家们遇到种种疑难所展现的智慧和勇气。如果不去回顾这段历史很难想象当初的先手们所面临的是何种的困惑。作为物理学史一个重要的节点，量子场论的诞生具有错综复杂的线索，这里面有量子力学和相对论发展的历史，甚至可以说任何在低能下的相对论量子力学都更像场论。本章是对整个量子场论发展历史的回顾，不过有些在量子力学课上的内容笔者也会较为详细地给出展示。

相对论波动力学

  相对论量子力学作为量子场论基础的部分曾经给物理学家们带来了相当多的挑战。如果物质粒子和光子一样能用波动力学的手段描述，则对于一个处在$(x, t)$的粒子，其相位应为$2 \pi (\boldsymbol{ k} \boldsymbol{x}+\nu t)$。则为了满足相位的洛伦兹不变性，对应$(\kappa, \nu)$也应该满足洛伦兹变换不变，因此$(\bf{\kappa}, \nu)$ 应与$(\mathrm{\boldsymbol{p}},E)$有相同的速度依赖，由此便给出了德布罗意关系

$$\boldsymbol k=\mathrm{\boldsymbol p}/h,\quad \nu=E/h. \tag{1}$$

在外加矢量场$\bf A$和库伦势$\phi$下（$(\boldsymbol{A},\phi)$和$(\boldsymbol{p},E)$有一样的Lorentz变换性质），通过对狭义相对论关系$H^2=\mathrm{\boldsymbol p}^2c^2+m^2c^4$ 进行修正替换，则有$(H+e \phi)^{2}-c^{2}(\mathbf{p}+e \mathbf{A} / c)^{2}-m^{2} c^{4}=0$。对自由粒子该方程应有平面波解形式$\exp{\{2\pi i(\boldsymbol k\cdot \boldsymbol x -\nu t)\}}$，对于$(1)$则有

$$\mathbf{p}=h \boldsymbol{k} \rightarrow-i \hbar \nabla, \quad E=h v \rightarrow i \hbar \frac{\partial}{\partial t}.\tag{2}$$

最终我们可以得到所谓克莱因-高登-薛定谔方程

$$0=\left[\left(i \hbar \frac{\partial}{\partial t}+e \phi\right)^{2}-c^{2}\left(-i \hbar \boldsymbol{\nabla}+\frac{e \mathbf{A}}{c}\right)^{2}-m^{2} c^{4}\right] \varphi(\mathbf{x}, t).\tag{3}$$

这个相对论性方程最初由薛定谔给出。我们可以看到，如果代入氢原子定态系统，即$(\mathbf{A}=0,\phi=e/4\pi r)$，在满足一定边界条件下解此方程^A可以得到能量值有

$$E=m c^{2}\left[1-\frac{\alpha^{2}}{2 n^{2}}-\frac{\alpha^{4}}{2 n^{4}}\left(\frac{n}{\ell+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4}\right)+\cdots\right]\tag{4},$$

其中$\alpha\equiv e^2/4\pi \hbar c$就是著名的精细结构常数，主量子数$n$和轨道量子数$\ell$满足$0\le\ell\le n-1$。对比索末菲由旧量子理论导出的结果

$$E=m c^{2}\left[1-\frac{\alpha^{2}}{2 n^{2}}-\frac{\alpha^{4}}{2 n^{4}}\left(\frac{n}{k}-\frac{3}{4}\right)+\cdots\right]\tag{5}.$$

这里$k=0,1,\cdots,n$。实际上$(4)$的结果和实验观测相差较大，而索末菲的结果误打误撞，非常巧合地符合精细结构分裂的观测值，它们分别对应$\alpha^4mc^2/12$和$\alpha^4mc^2/32$。薛定谔在得知这个结果之后对自己的推导十分怀疑，搁置了这个结果的发表。数月之后他才意识到这个相对论性的方程在低能近似下的重要意义。与此同时，克莱因等人也独立地得到并发表了同样的结果，所以$(3)$在学界更习惯地称为克莱因-高登方程。

  薛定谔的结果同实验的偏差其实是忽略了电子具有内禀角动量的缘故，后来他正确地意识到这一点。由于电子自旋角动量的存在，自旋轨道产生耦合，从而真正的角动量参数是两者耦合之后的，即所谓总角动量$j=l\pm1/2$。如果将$(4)$中的轨道角动量替换成总角动量，便可以得到同实验观测一致的结果。具体而言，这里面存在两种物理效应，一则是电子自旋轨道耦合，二则是电子自旋的Thormas进动(Thormas Precession)。

附录

做题向来是数理教育的特色，各种闻名遐迩的大题典习题集，流传着天才的刷题传说，而传统量子力学课上必然离不开解一系列薛定谔方程，甚至专门开了一门数学物理课。喜欢做题没有坏处，通过做题能够非常高效地提升物理概念的理解，但是如果没有好的引导，陷入题海反而有碍于物理直觉的培养，故而笔者在之后的系列笔记附录部分尽量多探究解题的过程，通过大家的著作一窥题目背后的物理，规范做物理题的方式。

A. 这里给出温伯格书中引用的讨论和解法，见Schiff书51节¹：

从相对论性退化到非相对论性：
将Eq.(3)拆开写

$$\left(-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial t^2}-2ie\hbar\phi\frac{\partial}{\partial t}-ie\hbar\frac{\partial \phi}{\partial t}+e^2\phi^2 \right)\psi\\ = \left[-\hbar^2c^2\nabla^2+2ie\hbar c \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{\nabla}+ie\hbar c(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A})+e^2\boldsymbol{A}+m^2c^4 \right]\psi. \tag{A1}$$

给出试探解(平面波解)

$$\psi(r,t)=\psi'(r,t)e^{-i m c^2t/\hbar}\tag{A2}$$

代入Eq.(A1).
接下来就非常需要物理上的考虑，在实际的理论解析过程中经常遇到，也最能体现物理上处理方程和数学分析上的区别。首先容易得出$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$作用在$\psi’$上给出了结果应该和$e\phi$的作用是相同量级的，而且在非相对论的情况下电子动力学过程的能量应该远小于其静止能量$mc^2\psi’$。
分别有以下时间的一阶和二阶偏导数：

$$\begin{align} \frac{\partial\psi}{\partial t}&=\left(\frac{\partial\psi'}{\partial t}-\frac{imc^2}{\hbar}\psi'\right)e^{-imc^2t/\hbar}\\ \frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}&=\left(\frac{\partial^2\psi'}{\partial t^2}-\frac{2imc^2}{\hbar}\frac{\partial\psi'}{\partial t}-\frac{m^2c^4}{\hbar^2}\psi'\right)e^{-imc^2t/\hbar}\end{align}\tag{A3}$$

根据以上物理上量级的对比，我们可以约去上两式右边第一项，与此对应的是Eq.(A1)左边的最后两项。于是对于Eq.(A1)左项，可以得到

$$\left(2i\hbar mc^2\frac{\partial\psi'}{\partial t}+m^2c^4\psi'-2emc^2\phi\psi'\right)e^{-imc^2t/\hbar}.\tag{A4}$$

于是原来的相对论性的波动方程退化到

$$i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+\frac{ie\hbar}{mc}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{\nabla}+\frac{ie\hbar}{mc}\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}+\frac{e^2}{2mc^2}\boldsymbol{A}^2+e\phi\right)\psi.\tag{A5}$$

这就是经典电磁场下的非相对论性波动方程。
这里Schiff在他的书里还argue了一下，论这个相对论波动方程为什么不能给出自旋。原因在于Pauli自旋矩阵的变换是三维矢量的变换，而不是四维（因为方程要满足Lorentz变换不变性），而且波函数不具有二分量旋子的形式。由此可见该方程势能的引入是非常谨慎的，需要考虑Lorentz变换的性质，如果势能项是Lorentz不变的，则可以归入到电子静止能量$mc^2$中。
考虑类氢原子系统$(\boldsymbol{A}=0,\phi=-Ze/r^2)$，解薛定谔相对论方程
求解这类微分方程常用的方法是分离变量法：

$$\psi(\boldsymbol{r},t)=u(\boldsymbol{r})e^{-iEt/\hbar}.\tag{A6}$$

代入Eq.(3)，可以得到方程

$$(-\hbar^2c^2\nabla^2+m^2c^4)u(\boldsymbol{r})=[E-e\phi(r)]^2u(\boldsymbol{r}).\tag{A7}$$

换到球坐标系下（这个过程主要是laplace算符的转换，可利用正交坐标网的转换关系给出）

$$u(r,\theta,\phi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi).\tag{A8}$$

给出径向方程

$$\left[-\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d}{dr}\right)+\frac{l(l+1)}{r^2}\right]R=\frac{(E-e\phi)^2-m^2c^4}{\hbar^2c^2}R\\ l=0,1,2,\cdots\tag{A9}$$

容易看出，如果我们考虑$E=E’+mc^2$，假设$mc^2>>E’\text{or}\phi$,方程就退化成非相对论形式。即上式右边变成$(2m/\hbar^2)(E’-e\phi)R$.(实质上是考虑主导项的一阶，$m^2c^4\left(1+\frac{E’-e\phi}{mc^2}\right)^2$，即$\varepsilon=\frac{E’-e\phi}{mc^2}$的一阶项，这个在理论近似处理的过程中是非常基础的操作，也是初学者容易忽视的地方。切记，量级大小是相对的，相对很小可忽略。)
下面将$\phi$换成$-Ze/r^2$，引入无量纲变量$\rho=\alpha r$（把方程写成无量纲形式对于处理这类微分方程屡试不爽，在处理一维线性谐振子系统，也出现过类似的用法^B），则Eq.(A9)可以写成

$$\frac{1}{\rho^2}\frac{d}{dr}\left(\rho^2\frac{dR}{d\rho}\right)+\left[\frac{\lambda}{\rho}-\frac{1}{4}-\frac{l(l+1)-\gamma^2}{\rho^2}\right]R=0.\tag{A10}$$

这里$\gamma=\frac{Ze^2}{\hbar c},\alpha^2=\frac{4(m^2c^4-E^2)}{\hbar^2c^2},\lambda=\frac{2E\gamma}{\hbar c\alpha}$。这和氢原子径向方程的解非常相似，除了原来的$l(l+1)$换成了$l(l+1)-\gamma^2$。物理上对方程的要求主要在于一些列限制性物理条件，比如边界条件周期性条件，满足量子力学基本要求，具有那种可观测的实验味儿，而不纯粹服务于数理逻辑。这是物理和数学本质的不同，也是物理图像在现实研究中重要的地位。所以Eq.(A10)的获得很有物理上的技巧性，$\lambda$的值是当$\rho\to\infty$由方程的边界条件决定的（由方程确定参数，由参数给出物理关系），因此可以给出

$$E=mc^2\left(1+\frac{\gamma^2}{\lambda^2}\right)^{-1/2}.\tag{A11}$$

接下来要用边界条件考察方程物理解。要问当$\rho=0$和$\rho=\infty$时，方程的解怎么能保证不会发散（存在束缚态的物理解），所以要考察方程在这些边界条件下的渐进行为。

B. 一维线性谐振子的波动方程求解。

牛顿运动方程的线性关系对应势能是二次项关系，量子系统有相同的形式，即考虑一维线性势场：

$$V=\frac{1}{2}K x^2.\tag{B1}$$

相应的物理描述是简谐正则模式（简正模，Harmonic Normal Mode），通常用于解决震荡问题。一个简正模对应一个震荡模式，记作角频率 $\omega$ ，这是我们对线性谐振子系统的一般描述，同样可以用到量子系统中。因此，一维线性谐振子系统薛定谔方程可以写作

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u}{dx^2}+\frac{1}{2}Kx^2u=Eu.\tag{B2}$$

把方程写成无量纲的形式更易求解，可以引入无量纲变量$\xi=\alpha x$，将方程化作

$$\frac{d^2u}{d\xi^2}+(\lambda-\xi^2)u=0.\tag{B3}$$

其中

$$\alpha^4=\frac{mK}{\hbar^2}\qquad\lambda=\frac{2E}{\hbar}\left(\frac{m}{K}\right)^{1/2}=\frac{2E}{\hbar \omega_c}.\tag{B4}$$

这里一个模态的角频率$\omega_c=(K/m)^{1/2}$，而且可以看出$\lambda$肯定也是无量纲的。类似地，观察方程在$\xi\to\pm\infty$的渐进行为，即$\lambda$可以忽略，方程解的形式就是$u(\xi)=\xi^ne^{\pm\xi^2}$，这里$n$是个有限值。不过要回想物理条件，显然正的指数解不满足边界条件。因此我们可以把该方程的试探解写作

$$u(\xi)=H(\xi)e^{-\xi^2}.\tag{B5}$$

这里$H(\xi)$一定可以写成关于$\xi$的多项式。于是可以给出

$$H''-2\xi H'+(\lambda-1)H=0.\tag{B6}$$

而解的形式有

$$H(\xi)=\xi^s(a_0+a_1\xi+a_2\xi^2+\cdots)\qquad a_0\neq0.\tag{B7}$$

之所以引入$s$，是要实现解的奇偶宇称的转换，很好的技巧。代入Eq.(B6),逐项比较

$$s(s-1)a_0=0$$

参考

1. L. I. Schiff, Quantum Mechanics, 3rd, New York 1968