问题描述

当符号计算多项式涉及叠波、频谱分析等的时候，对如下多项式的简化

$$f(x,a,b,c,d,\cdots)=a e^{-i(bx+d^2)}+a b c e^{-i(bx+d^2x^2+fc^2)}+\cdots+\frac{a^2b^2}{2c+b+d^3} e^{-i(bx+d^2)}$$

mathematica的Simplify或factor函数实现的形式并不是我们想要的，因为在计算机并不能识别你输入的公式符号变量的权重，它对所有变量一视同仁，导致最后的结果只是形式上的整理。实际上我们需要将多项式相同指数项选择性的合并操作，例如

$$f(x,a,b,c,d,\cdots)=(a b c+\cdots) e^{-i(bx+d^2x^2+fc^2)}+\cdots+\left(a+\frac{a^2b^2}{2c+b+d^3}+\cdots\right) e^{-i(bx+d^2)}$$

而实际情况下在涉及复杂多项式的对应简化，人工手动选择逐一合并是不现实的，所以本文提出一个解决的方案。

解决方案

核心的函数是PotionIndex和映射定义¹。

首先将多项式逐项展开成列表形式：

p1expand = Expand[p1](* p1是如上需要被展开的多项式 *)
apply[list,p1expand]       

有了以上的逐项展开式，我们可以分别对多项式的子项进行操作，由此，可以调用FirstCase函数并创建映射关系，提取列表的每一项的系数和指数信息，并将指数转换成系数矩阵的形式：

coefflist = FirstCase[#, Exp[b__] a_. :> {a, CoefficientList[ b, {x,c}, {}, {0}] & /@ p1list ;(*注意，这里e指数部分的多项式变量是x和c，只是简单示例，类似地，可以定义任意的底数*)

由于实际的多项式指数部分的可能只有常系数，所以转换来的系数矩阵可能是空集，因此我们需要把这部分空集去掉。
这里一开始要确定空集的位置：

nullindex = Position[coefflist, {}]

由此获得coefflist去除空集后的列表，进而得到去除空集的元素位置：：

withoutnull = Cases[coefflist, Except[{}]];
index = PositionIndex[withoutnull[[;; , 2]]]

这里使用List结构和循环结构，分别计算系数项，e指数项以及常数项：

系数项：

coeff=Table[Simplify[withoutnull[[index[[i]], 1]] // Total], {i, 1,  Length[index]}];

指数项：

expon=Table[Simplify[Internal`FromCoefficientList[ withoutnull[[waveindex[[i]][[1]], 2]], {x,c}]]// Exp, {i, 1, Length[index]}]

常数项：

ct = 0;
Do[rt = ct + p1list[[nullindex[[i, 1]]]], {i, Length[nullindex]}]；

最后只需要

poly=coeff.expon+rt;

即可得到最后的归并形式。

参考

1. 这是小憩片刻的思路