问题描述

这个问题来源于同学一次偶然的提问。一般的符号计算推导会涉及非对易代数，尤其在理论物理中，对易关系是物理系统非常重要的代数结构，在理论物理很多领域都有广泛的应用。不过很多情况下，心算手推可以直接获得简单的对易子的结果，而在实际应用的理论中，复杂的对易子关系就不那么容易看出或者手动计算十分繁琐，所以就有必要利用符号计算软件强大的功能实现这个过程，解放理论学者的双手。当然，功能繁多的mathematica集成了非对易代数的计算模块，实现的格式如下

(*mathematica的非对易模块的调用格式，其中“**”表示算符操作*)
Unprotect[NonCommutativeMultiply];
A_ ** (B_ + C_) := A ** B + A ** C
(B_ + C_) ** A_ := B ** A + C ** A
A_ ** c_?NumberQ := c A
c_?NumberQ ** A_ := c A
A_ ** (B_ c_?NumberQ) := c A ** B
(A_ c_?NumberQ) ** B_ := c A ** B
A_ ** (B_ c_Rational) := c A ** B
(A_ c_Rational) ** B_ := c A ** B
A_ ** (B_ c_Power) := c A ** B
(A_ c_Power) ** B_ := c A ** B

(*定义对易关系的函数*)

commutator[A_, B_] := A ** B - B ** A
(*这里以定义坐标动量对易关系为例*)
fundamentalCommutation[expr_] := 
 ExpandAll[expr //. p[i_] ** q[i_] :> q[i] ** p[i] - I h]

可以看出不那么简洁，而且有些功能需要重新定义，学习成本很高。所以这里介绍一款mathematica开源插件，彻底解决mathematica非对易计算的痛点。（btw Maple有更为成熟的解决方案，这方面mathematica要逊色一些，这里不多赘述）

解决方案

这款插件叫NCAlgebra，它是基于mathematica的非对易模块开发的，省去了原有mathematica模块非对易代数语言的学习成本和rewheel的过程。

插件获得与安装

插件可以在github上直接下载，地址是https://github.com/NCAlgebra/NC。插件作者早在2017年就完成了基本的开发，稳定版5.0可以直接在页面上下载，当然也可以直接clone作者当前的仓库。下载完解压之后会在根目录中看到一个“InstallNCAlgebra.nb”文件，直接用mathematica打开，按照英文指示安装即可。这个note文件实质上隐藏了安装命令。

插件作者十分细心给出了安装指导，他在note文件中反复强调了最重要的步骤：把一开始解压的包含note文件的根文件夹名更改为NC，以便插件集成过程中在mathematica的环境配置。

插件的使用：计算对易子

下面介绍插件关于计算对易子的使用
这里以计算

$\sigma_+=c s R_z+c^2 R_+-s^2 R_- \qquad \sigma_-=c s R_z-s^2 R_+-c^2 R_- \qquad \left[\sigma_+\,,\sigma_-\right]=?$

为例。
其中基本的对易关系是

$[R_z\,\,R_+]=2R_+,\quad [R_z\,\,R_-]=2R_- ,\quad [R_+\,\,R_-]=R_z$

调用插件，导入NC模块以及非对易模块：

1
2
3

(*Import package*)<< NC`
<< NCAlgebra`
<< NCGBX`

定义基本对易关系：

(*约定算符作用的方向和顺序*)
SetNonCommutative[Rp, Rm, Rz]
SetCommutative[c, s]
SetMonomialOrder[Rz, Rp, Rm] (*x to the left,p to the right*)
NCSetOutput[NonCommutativeMultiply -> True] (*pretty output*)
(*利用NCmakeGB设置基本对易关系的约束 *)
gb = NCMakeGB[{Rp ** Rm - Rm ** Rp + Rz, Rz ** Rp - Rp ** Rz - 2 Rp, Rz ** Rm - Rm ** Rz + 2 Rm}, 20]

和mathematica非对易语法一样,定义对易表达式：

1	`Comm[A_, B_] := A B - B A;`

然后便可以通过NC的模块算符操作

(*计算对易关系并展开，注意这里NCExpand是算符操作的展开，不要和mathematica自带的expand函数混淆*)
expression = Comm[SubPlus[\[Sigma]], SubMinus[\[Sigma]]] // NCExpand
(*对展开的对易式做基本对易关系替换，并把最后的结果展开*)
NCReplaceRepeated[expression, gb] // NCExpand

不过由于替换函数（在mathematica中是表达式后/.{x->y})过于傻瓜，只能替换形式一致的符号，所以往往一次替换并不能给出最简单的结果，所以有网友在stackexchange上提出了一个解决方案¹——就是多替换几次。利用上面的关系式循环嵌套若干次直到最后形式收敛即可。或者按照该网友的方法，定义替换函数，重复调用即可：